Resumen Este artículo tiene por objetivo reportar los significados de la concavidad a partir de situaciones que propicien el estudio del cambio en la gráfica de funciones, para que sea de utilidad a la comunidad docente y al estudiantado en la comprensión de este conocimiento. Con elementos de la teoría socioepistemológica de la matemática educativa y una metodología cualitativa, se construyen fases que inician con una problematización del saber matemático, diseño e implementación de situaciones de aprendizaje y, finalmente, socialización de los materiales y reflexiones con el colectivo docente. Se implementa la situación con seis estudiantes mujeres y se muestran algunas similitudes entre sus argumentos con los aportes de la matemática Agnesi en relación con la explicación del punto de inflexión desde el estudio de la variación. Esto permite reportar seis formas de interpretar a la concavidad en funciones y refuerza los resultados presentados por otros autores.

Abstract The purpose of this article is to report the meanings of concavity taking into accounts such situations that favor the study of change in the graph of functions, so that it is useful to the teaching community and the student body for understanding this knowledge. Using elements of the socio-epistemological theory of educational mathematics and a qualitative methodology, we build a series of phases beginning with the problematization of mathematical knowledge, followed by the design and implementation of learning situations and, finally, the socialization of the materials and reflections with the teaching group. The situation is implemented with six female students and some similarities are found between their arguments and the contributions of the mathematician Agnesi in relation to the explanation of the turning point from the perspective of the study of variation. This allows us to report six ways of interpreting concavity in functions and reinforces the results presented by other authors.

Abstract We present a case study that explores the interpretations of the equal sign by a group of middle school students in Uruguay (13-14 years old) in an algebraic polynomial context. As a theoretical perspective, we adopted a classification of the equal sign meanings. We applied a questionnaire and performed interviews. The results show that knowledge about the equal sign facilitates the understanding of polynomials and that working with polynomials enriches the understanding of the equal sign. This suggests a dialectical relationship between the interpretation of the equal sign and the learning of polynomials. Didactic implications are proposed based on these findings.

Resumen Se presenta un estudio de casos que explora las interpretaciones del signo igual de un grupo de estudiantes de enseñanza media de Uruguay (13-14 años) en un contexto algebraico de polinomios. Se adopta como perspectiva teórica una clasificación de los significados del signo igual. Se aplica un cuestionario y se realizan entrevistas. Los resultados muestran que un conocimiento sobre el signo igual facilita el entendimiento de los polinomios y que el trabajo con los polinomios enriquece la comprensión del signo igual. Esto deja entrever una relación dialéctica entre la interpretación del signo igual y el aprendizaje de los polinomios. Implicaciones didácticas son propuestas a partir de estos hallazgos.

Abstract: We present a partial research report in the field of Mathematics Teacher Education, in which three uruguayan mathematics preservice teachers participated. The study aimed to determine which interaction patterns prevailed in their classes, between those described by the Interactionist Approach in Mathematics Teacher Education. Three preservice mathematics teachers’ classes were observed and videotaped. They were developed in the last year of their teaching practice. This article focuses on the analysis of some episodes from two of the three students involved in the study. These episodes were selected in attention to the interaction pattern they configured, as well as the knowledge to be treated and the moment of the class in which they were configured. We concluded that preservice teachers configured these patterns when they intended to evoke or institutionalize a mathematics statement. We propose the social interaction analysis as a tool to consider these issues in mathematics teacher education.

Resumen: En este artículo se presenta el reporte parcial de una investigación en el campo de la Formación del Profesor de Matemáticas donde participaron estudiantes de profesorado de matemáticas de Uruguay. El objetivo fue determinar qué patrones de interacción predominaban en las clases de los futuros profesores participantes, entre los patrones descritos por la Aproximación Interaccionista en Educación Matemática. Para ello se observaron y video grabaron clases de tres estudiantes de profesorado de matemáticas, en el último año de la práctica docente durante su formación, atendiendo a las interacciones sociales que llevan con sus alumnos. En este artículo analizamos episodios de clases de dos de los tres futuros profesores, que fueron seleccionados atendiendo al patrón que configuraban en sus interacciones, y a la relación de dicho patrón con el conocimiento tratado y el momento de la clase en que se configuró. Hemos encontrado evidencia que nos permite concluir que la institucionalización de conceptos o propiedades en la clase puede conducir a la configuración de los patrones extractivo o de embudo. Proponemos herramientas para analizar estas cuestiones en la formación de profesores de matemáticas.

Adoptant une perspective socio-épistémologique, ce travail présente les résultats d'une réflexion concernant les argumentations et les démonstrations dans le domaine des mathématiques. Cette recherche permet de comprendre que dans différents milieux, les argumentations utilisées sont dotées de caractéristiques qui diffèrent de celles relevant de l'argumentation déductive. La présence dans la salle de cours de différents types d'argumentations ne peut parfois pas s'expliquer à partir de la seule logique aristotélicienne. De même, l'absence de formes basées sur la logique aristotélicienne, dans des milieux qui ne sont pas en relation avec les mathématiques, permet de comprendre que pour ce genre particulier de produit socioculturel, des argumentations dans des lieux non académiques sont construites et que ce sont les étudiants qui les transfèrent vers le milieu scolaire étant donné qu'ils vivent simultanément dans ces deux types de milieux.

Este trabalho apresenta uma visão dos argumentos e demonstrações matemáticas a partir da visão sócio-epistemológica. Permite compreender que, em cenários diversos, os argumentos usados possuem características distintas daquelas que o argumento dedutivo possui. A presença em aula de diferentes tipos de argumentos às vezes não pode ser explicada a partir da lógica aristotélica. Do mesmo modo, a ausência de formas baseadas na lógica aristotélica em cenários não matemáticos permite compreender que, nesse caráter de produto sócio-cultural, são construídos argumentos em cenários não acadêmicos que são transferidos pelos estudantes ao cenário escolar, já que eles vivem de maneira simultânea em ambos os tipos de cenários.

This paper presents a vision of mathematical arguments and demonstrations from a socio-epistemological point of view. It allows us to understand that the arguments used in different settings are different to those of deductive arguments. The presence in classrooms of different types of arguments cannot always be explained using Aristotelian logic. Likewise, the non-appearance of forms based on Aristotelian logic in non-mathematical settings, provides us with the possibility of understanding that, with regards socio-cultural aspects, arguments are constructed in non-academic settings which are transferred by students to school settings, due to the fact that they simultaneously experience both settings.

Este trabajo presenta una visión de las argumentaciones y demostraciones matemáticas desde la óptica de la socioepistemología. Permite comprender que en distintos escenarios las argumentaciones utilizadas poseen características distintas de las que posee la argumentación deductiva. La presencia en el aula de distintos tipos de argumentaciones a veces no puede explicarse desde la lógica aristotélica. Asimismo, la no aparición de formas basadas en la lógica aristotélica en escenarios no matemáticos, da la posibilidad de comprender que en ese carácter de producto sociocultural, se construyen argumentaciones en escenarios no académicos que son transferidas por los estudiantes al escenario escolar, ya que ellos viven simultáneamente ambos tipos de escenarios.

Dans un premier temps, ce travail est une description de contextes spatio-temporels qui n'ont pas été influencés par la pensée aristotélicienne. Les techniques argumentatives utilisées dans ces lieux diffèrent donc complètement de celles venant de Grèce. Dans ces cultures non-aristotéliciennes, quelques concepts mathématiques ont ainsi été abordés et travaillés. Mais plusieurs siècles ont été nécessaires pour qu'on les accepte et qu'on les utilise dans la culture occidentale. Ceci démontre que les techniques argumentatives et l'élaboration d'éventuels concepts mathématiques basés sur d'autres courants de pensée relèvent de la construction culturelle. Dans un deuxième temps, ce travail aborde le thème des techniques argumentatives considérées, pendant des cours de mathématique, comme incorrectes par rapport à la logique aristotélicienne.

Este artigo mostra, em primeiro lugar, uma caracterização dos cenários culturais que não tiveram influência aristotélica, daí que as argumentações utilizadas difiram das que foram originadas na Grécia. Nessas culturas foram abordados e trabalhados alguns conceitos matemáticos cuja aceitação e tratamento tardaram vários séculos no pensamento ocidental, o que salienta o carácter de construção cultural das formas de argumentação, assim como a possibilidade de elaborar conceitos matemáticos com base noutras vertentes do pensamento. Além disso, o estudo refere também a presença, na aula de Matemática, de algumas formas de argumentação incorrectas na lógica aristotélica.

This work shows, first, a characterization of cultural scenarios that did not have Aristotelian influence; hence its argumentations used are different than the ones originated in Greece. In such cultures some mathematical concepts were used in a way that took several centuries to be accepted in western thinking. This shows how culture affects forms of argumentation and posits the possibility of the development of mathematical concepts based on other thinking sources. Furthermore, this study describes some argumentation forms, present in the mathematical classroom, which are incorrect according to Aristotelian logic.

Este trabajo muestra, en primer lugar, una caracterización de escenarios culturales que no tuvieron influencia aristotélica, de ahí que las argumentaciones utilizadas difirieran de las que se originaron en Grecia. En dichas culturas se abordaron y trabajaron algunos conceptos matemáticos cuya aceptación y tratamiento tardaron varios siglos en el pensamiento occidental, lo cual pone de manifiesto el carácter de construcción cultural de las formas de argumentación, así como la posibilidad de elaborar conceptos matemáticos sobre la base de otras vertientes de pensamiento. Asimismo, el estudio refiere la presencia, en el aula de matemática, de algunas formas de argumentación no correctas para la lógica aristotélica.